Overslagsregning

I ungdomsskolen forsøker en å trene opp elevenes evne til å vurdere rimelighet ved å gjøre et grovt overslag før de mer detaljerte beregningene begynner. Arealet av et rom (A) er produktet av lengde (L) og bredde (B) (A = L · B). Hvis L = 3,78 meter og B = 4,21 meter, er rommet anslagsvis 16 kvadratmeter (m²) stort (4 · 4). Mange synes å ha glemt det de måtte ha kunnet av overslagsregning (eller omtrentregning) når de kommer over i videre utdanning, der formlene blir mer kompliserte enn A = L · B.

I prosjektanalyse bruker vi stort sett multiplikasjon og addisjon i budsjettering. Ved diskontering bruker vi eksponensialfunksjonen og addisjon. Ved budsjettering er utfordringen ved overslagsregning hovedsakelig å holde orden på antall nuller. Her kan vi ta et eksempel fra Bergen, hvor det for mange år siden ble diskutert å investere i et parkeringsanlegg midt i sentrum, den såkalte Festplassgarasjen. Hovedtallene i en variant av dette prosjektet er:

En første grovurdering av dette prosjektet kan være å se ett års totale avgiftsinntekter i forhold til investeringsbeløpet. Uten kalkulator går de fleste lett i surr med nullene. Derfor kan det være nyttig med et lite triks. I stedet for 690 skriver du 7·10²; 350 blir 4·10² og 0,5 blir 5·10^–1. Dermed kan du skrive inntektssiden i foregående tabell slik:

Siden alle disse tallene skal multipliseres med hverandre for å få årlig inntekt, kan du få et overslag på samlede inntekter:

Samlet inntekt er altså omtrent 1,4 · 10² ·10⁵ = 1,4 · 10⁷ = 14 mill. NOK. (Vi brukte dette trikset i oppgave 2H.10.) Siden investeringen er ca. ti ganger samlede bruttoinntekter i et normalår og driftskostnadene er betydelige, er prosjektet neppe bedriftsøkonomisk lønnsomt. Siden den gang har både investeringsbeløp og avgift per time steget mye, men forholdstallene blir likevel kanskje omtrent de samme.

I en eksamensoppgave for noen år siden ble kandidatene bedt om å anslå hvilken merpris en ville betale for en bil med 0,2 liter lavere bensinforbruk per mil enn en annen tilsvarende bil. Det ble gitt forutsetninger om kjørelengde per år (16 000 km), bensinpris per liter (8 kroner) og antatt levetid (20 år). Nåverdien av denne forskjellen varierer med avkastningskravet, men svarene til eksamen varierte mellom 900 kroner og 210 000 kroner. Dette må åpenbart skyldes at mange kandidater ikke vurderte rimeligheten ved budsjettering av årlig fordel. Uansett hjelpemidler er det lett å anslå årlig besparelse til ca. 2 500 kroner. Øvre grense for besparelsen (altså uten diskontering) blir dermed ca. 50 000 kroner (2 500 · 20).

Rimelighetsvurdering ved budsjettering er nokså enkelt. Ved diskontering blir det litt verre siden eksponensialfunksjonen yx kommer inn i bildet. Du vet fra kapittel 3 at denne funksjonen er langt fra lineær, og da blir rimelighetsvurdering og overslagsregning vanskeligere. Men du trenger bare litt logaritmeregning og et par holdepunkter for å kunne anslå nåverdi eller sluttverdi av ett enkelt beløp. Kan du ikke logaritmeregning, er det likevel lett å huske resultatet og huskeregelen. For noen hjelper det på hukommelsen å se hvordan en regel er utviklet.

Sluttverdien av en krone er. Den naturlige logaritmen til dette uttrykket er

ln (1 + r)^T  = T • ln (1 + r)

Det kan vises at ln (1 + r)  ≈  r når r er liten. Når du i tillegg får vite at ln 2 = 0,7, kan du anslå slutt- og nåverdi av ett enkelt beløp. For eksempel erdersom produktet r • T = 0,7. Dette er den såkalte 70-regelen. Videre erhvis r • T = 1,4 (fordi ln 4 = 1,4), og tilnærmet lik 8 hvis r • T = 2,1. Kontroller gjerne for noen tilfeldige kombinasjoner av kapitalkostnad og planperiode, så husker du lettere regelen.

Formlene for annuiteter

er mer fryktinngytende og synes lite egnet for overslagsregning. Men det viser seg at annuitetsformlene har meget enkle grenseverdier når r → 0 og T → ∞ (jf. kapittel 3). Disse grenseverdiene er oppsummert i denne tabellen:

Hvis du for eksempel skal låne 800 000 kroner som annuitetslån med 7 % rente og 25 års avdragstid, er
56 000 kroner (800 000 · 0,07) nedre grense og et brukbart anslag på årlig annuitetsbeløp (nøyaktig ca.
69 000).

Ved bruk av tilnærmede uttrykk er det alltid grunn til å spørre om hvor god tilnærmingen er, og hvordan kvaliteten i anslaget varierer med inngangsdata. Hvis avdragstiden i eksemplet over endres fra 25 til 10 år, øker den virkelige annuiteten til ca. 114 000 kroner. I dette tilfellet, med nokså kort løpetid, gjør du likevel en relativt liten feil om du bruker denne tilnærmingen:

Formålet med disse metodene for overslagsregning er naturligvis ikke å eliminere behovet for rentetabell, kalkulator eller datamaskin. Poenget er at de hjelper deg til å vurdere rimelighet og minsker faren for pinlige skivebom.

Annuitetsformlene kan strengt tatt bare brukes hvis årlig beløp er det samme hvert enkelt år. Feilen du gjør når du bruker annuitetsformelen hvis du ikke har et fast årlig beløp, er naturligvis avhengig av hvor store avvik vi har mellom årene.

Anta at du skal finne nåverdien av denne kontantstrømmen:

Denne kontantstrømmen er ikke noen annuitet, men det er heller ikke noe mønster i hvordan årlig beløp varierer rundt gjennomsnittsbeløpet på 8. I et slikt tilfelle gjør du svært liten feil dersom du baserer nåverdivurderingen på gjennomsnittlig kontantstrøm og bruker annuitetsformelen derfra.

Oppgaver:
Ved å klikke deg videre kommer du til noen oppgaver som du bør løse uten å bruke kalkulator. Det gir deg trening i hode- og overslagsregning og øker tallfølelsen. Dermed blir det lettere ved senere anledninger å oppdage når resultatet av en beregning ved hjelp av kalkulator eller Excel er helt urimelig.

Gå til første oppgave: